Mình từng thử đọc cuốn sách này năm lớp 7, bây giờ đọc lại thấy khá bồi hồi. Ngày đó, dù đọc không hiểu gì mấy nhưng vẫn nhớ. Hơn hai mươi năm đã trôi qua.
*
G. Polya viết cuốn sách này cũng từ một động lực giống mình: hiểu về tư duy toán. Đã có quá nhiều sách viết về tri thức toán rồi (tuyển chọn bài tập, luyện thi, giáo trình,…), nhưng chỉ có một số ít sách nghiên cứu phương diện tư duy. Xúc động khi đọc những dòng này: “Chính vì cố tìm hiểu không phải cách giải một bài toán này hay bài toán khác, mà còn cả những suy luận cùng quá trình giải toán, đồng thời giải thích những lập luận về quá trình đó, mà tác giả đã viết cuốn sách này…Sau cái mong muốn giải một bài toán cụ thể có thể còn có một sự tò mò sâu sắc hơn, một sự mong muốn hiểu được những đường lối và phương tiện, các lập luận và quá trình dẫn tới cách giải.” (tr.4-5)
Mặc dù có một sự thôi thúc khá mạnh để đọc như thế, nhưng thực tế, khi đọc sâu hơn quả thật mình đã rất rối trí. Phần lớn nội dung cuốn sách mình đọc chỉ thấy như một tiếng vọng xa xăm. Lật đi lật lại nhiều lần vẫn khó mà xoá đi được cái cảm giác như bị lạc lối đó, và đến lúc này vẫn không hiểu rõ là tại sao. Mới thấy cậu bé năm nào phải “đầu hàng” trước cuốn sách cũng là lẽ đương nhiên.
Sách chia làm 3 phần, phần 1 và phần 2 dành để triển khai bảng các câu hỏi và lời khuyên. Mặc dù đây là trọng tâm của sách, nhưng với mình chúng khá vô ích. Chỉ tới phần thứ ba “Tự điển con" mình mới góp nhặt lại được 5 đề mục quan trọng (trong tổng số 54 đề mục của phần này) để học hỏi.
Quy nạp và quy nạp toán học
“Quy nạp là một quá trình nhận thức những quy luật chung bằng cách quan sát và so sánh những trường hợp riêng.” (tr.185) “Phép quy nạp cố gắng phát hiện ra các quy luật và các liên hệ ẩn giấu đằng sau các hiện tượng quan sát được bề ngoài." (tr.187) Thuật ngữ “quy nạp" thật vô giá, chỉ một từ mà giúp ta gọi tên được một thao tác tư duy quan trọng của trí tuệ con người. Nhờ khả năng quy nạp, mà con người mới phát hiện ra được chân lý.
Tại sao cần phải có những chứng minh?
Mình đã khá hụt hẫng khi đọc phần này. Câu hỏi trên khiến mình nghĩ tới tác giả muốn khám phá ý nghĩa của chứng minh toán học, nhưng thực chất tác giả chỉ muốn xét xem tại sao khi học các định lý thì ta nên cố gắng hiểu cả chứng minh của các định lý đó. Dẫu vậy trong nội dung đề mục này tác giả có triển khai một ý tưởng quan trọng về “hệ logic" mà mình thấy khá hấp dẫn. “Hình học, như đã được trình bày trong bộ Nguyên lý của Euclid không đơn thuần là một tập hợp những sự kiện, mà là một hệ logic. Những tiên đề, định nghĩa và định lý trong đó không phải được sắp xếp một cách ngẫu nhiên mà là theo một thứ tự không thể chê vào đâu được. Mỗi một định lý đều được đặt ở chỗ sao cho nó được suy từ những tiên đề, định nghĩa và định lý đứng trước nó. Có thể coi cách sắp xếp đó là một thành công chủ yếu của Euclid và hệ logic đó là ưu điểm căn bản của bộ Nguyên lý. Hình học Euclid không phải chỉ là một hệ logic, mà nó chính là một mẫu mực điển hình đầu tiên và lớn nhất của loại hệ thống này, mà các khoa học khác đã và sẽ còn cố noi theo.” (tr. 195) Hình học là một bộ môn khó với đại đa số học sinh. Chúng vẫn thường than vãn “Tại sao phải chứng minh?” Chúng không có một trực giác để hiểu tại sao lại phải chứng minh cái này là đúng hay sai và bằng cách nào để làm được điều đó. Tốt nhất là chẳng nên giải thích làm gì, vì một mặt chuyện đó rất khó giải thích, và mặt khác, nếu chúng đã không có cái năng khiếu để hiểu thì nói cũng vô ích. Những học trò có tố chất khi quan sát thầy giáo làm toán sẽ tự nhiên biết suy luận theo.
Định nghĩa
“Trong toán học có hai loại từ chuyên môn. Một số được xem hoàn toàn như những từ ban đầu, không định nghĩa. Một số khác được xem như những từ dẫn xuất và được định nghĩa bằng cách dùng những từ ban đầu, hoặc những từ dẫn xuất nhưng đã đã định nghĩa trước. Vì thế mà người ta không định nghĩa những khái niệm đầu tiên như điểm, đường thẳng, mặt phẳng. Ngược lại người ta đã định nghĩa một cách logic những khái niệm như là phân giác của một góc, đường tròn, parabol.” (tr.103) Quả thật có một giai đoạn nhìn lại sâu hơn về hình học, mình cũng đã bế tắc khi không thể hiểu nổi điểm, đường thẳng, mặt phẳng là gì. Chẳng có một định nghĩa thỏa đáng nào về chúng cả, ngay cả trong sách của Euclid, và như G. Polya đã nói một cách rất thú vị, tất cả những diễn giải về những từ ban đầu này không hề có giá trị logic mà chỉ là “những cách minh họa trực giác”. Vậy hoá ra, toán học vốn lưởng là toà lâu đài của logic lại được xây dựng trên cái nền tảng trực giác như thế. Chúng ta dùng cây bút, thước kẻ và trang giấy để hình dung ra điểm, đường thẳng và mặt phẳng, nhưng chúng ta chỉ thực sự thấy chúng trong trí tưởng tượng của mình. Không một từ nào có thể nói ra đúng bản chất của chúng là gì.
Ký hiệu
“Khó nói hết được tầm quan trọng của các ký hiệu toán học. Các nhà toán học hiện đại nhờ có hệ thập phân mà có được một ưu thế rất lớn so với các nhà toán học thời thượng cổ…Có một mối liên hệ mật thiết giữa ngôn ngữ và tư duy, ngôn ngữ làm cho tư duy phát triển. Nhiều nhà triết học và ngữ ngôn còn đi xa hơn nữa và khẳng định rằng không có ngôn ngữ thì không có tư duy…Dù sao thì công dụng của những ký hiệu toán học cũng tương tự như công dụng của tiếng nói, kí hiệu toán học ví như thứ ngôn ngữ, đặc biệt một thứ tiếng rất hay hoàn toàn thích ứng với mục đích của mình, súc tích và rõ ràng, với những quy tắc không ngoại lệ như đối với ngôn ngữ thông thường.” (tr. 184) Các con số mà ta vẫn đang dùng hàng ngày như hiện nay có một lịch sử hàng ngàn năm. Các ký hiệu +, −, ×, ÷ cũng không phải tự nhiên mà có ngay từ đầu. Ký hiệu toán học sẽ còn phát triển và thay đổi nhiều theo thời gian. Nhờ tuy duy tiến bộ hơn dẫn đến nhu cầu tìm ra cách diễn đạt mới và tốt hơn. Và nhờ các ký hiệu mới này, tư duy lại phát triển nhanh chóng hơn.
Hoạt động của tiềm thức
“Mỗi người chúng ta chắc chắn đều có kinh nghiệm bản thân như vậy, và tất cả những người nào thích toán và hay giải toán có lẽ cũng đều có kinh nghiệm đó trong quá trình làm việc của họ. Rất nhiều khi ta phải bó tay trước một bài toán mặc dù đã cố gắng rất nhiều. Nhưng sau một đêm nghỉ ngơi hay vài ngày bỏ dở thì có thể thình lình một tia sáng đến trong ý nghĩ của ta, và ta có thể giải bài toán dễ dàng…Chỉ có những bài toán mà ta đã tập trung suy nghĩ nhiều, thì khi trở lại mới được biến đổi, sáng ra. Hình như sự cố gắng có ý thức và lao động trí óc là cần thiết để buộc tiềm thức làm việc. Nếu không phải như thế thì hoá ra vấn đề lại quá dễ dàng, vì khi đó chúng ta có thể giải các bài toán khó nhất bằng cách đi ngủ để chờ đợi những ý kiến hay.” (tr.130-131) Phải tập trung suy nghĩ thì mới giải được toán, nhưng tập trung quá mức thì lại không hay. Muốn nhìn ra ý tưởng thì một mặt phải kiên trì theo đuổi, mặt khác phải luôn giữ cho trí óc tỉnh táo. Giải toán phải biết dừng lại đúng lúc, trí óc đã bế tắc quá rồi mà vẫn cố thì chỉ tự làm khổ mình. Bỏ bài toán đó, thư giãn, vui chơi, làm những công việc khác thường ngày, rồi trở lại vào lúc khác với một cảm giác thông thoáng trong trí óc. Mỗi ngày một chút như thế ta lại tiến gần hơn tới đích.
*
Không bao giờ có thể hiểu hết một cuốn sách. Ở đây mình chỉ ghi lại những điều tâm đắc nhất có ích cho hành trình tự khám phá của bản thân. Quan trọng là thông qua việc viết ra được trải nghiệm một cách hệ thống, mình đã có một sự kết nối đủ mạnh với sách, những gì mình đọc được sẽ không bị chìm vào quên lãng mà bám rễ chắc vào trong mảnh đất tinh thần.
Cuốn mình đọc là sách chụp lại bản dịch tiếng Việt in năm 1975 của nxb Giáo Dục. Thời đó sách này đã được in tận 50000 bản, thật đáng kinh ngạc!
Comments
Post a Comment